Kuidas me teame, et kõik elektronid on identsed? 2. osa

1. osas läksin üle Gibbsi paradoksi, 19. sajandi lõpu statistiliste mehaanikute paradoksi, mille resolutsioon näitas, et osakesed peavad mingil tasemel olema identsed ja eristamatud. See oli esimene aimdus ja pani mõned inimesed selle teema mõtlema - kuid see polnud tegelikult viimane sõna.

2. osas lõpetan selgituse, kuidas füüsikud teavad, et kõik elementaarsed osakesed (näiteks elektron) on identsed, sukeldudes kvantmehaanikasse - see on põnev füüsika valdkond, mis avastati ja arendati välja 20. sajandi esimese 3 kümnendi jooksul. sajandil (1900–1930). 2. osa peaks olema täiesti võimalik lugeda ilma 1. osa lugemata; kuigi mõlemad on seotud sellega, miks osakesed on identsed, on mõlemad iseseisvad ja kumbki ei sõltu teisest. 1. osa on põhimõtteliselt seletus, nagu oleks võinud aru saada umbes 1900, samas kui 2. osa on seletus, nagu seda mõisteti aastaks 1930 - pärast kvantmehaanika valmimist.

Klassikalises statistilises mehaanikas saate esindada tõenäosuste abil süsteemi oleku erinevaid võimalusi. Näiteks kui teate gaasi temperatuuri ja rõhku, on gaasi moodustavate osakeste vahel statistiline jaotus (nn tõenäosustiheduse funktsioon). Need osakesed põrkavad juhuslikult ringi. Kõrgel temperatuuril leiate suurema tõenäosusega üksiku gaasi molekuli, mis liigub kiiresti; madalal temperatuuril leiate tõenäolisemalt üksiku aeglaselt liikuva gaasi molekuli. Kuid mõlemal juhul on olemas terve rida võimalusi.

Kvantmehaanikas on sama tõsi, kuid see muutub natuke keerukamaks. Tõenäosustiheduse funktsioon kvantmehaanikas antakse kompleksfunktsiooni, mida nimetatakse lainefunktsiooniks, suurusruumi ruut. Kompleksi all pean silmas reaalarvude funktsiooni (x = 1, 2, 3.4, 9.8 jne) asemel keerukate arvude funktsiooni, millest igaühel on reaal- ja kujuteldav osa (z = 1 + i, 2 + 3,5i, 4,8 + 9i jne) Kui te pole sellega kunagi varem kokku puutunud, siis olen kindel, et see kõlab tõesti imelikult. Kuid ma ei saa öelda muud, kui: kvantmehaanika töötab just nii - see on imelik!

Nii et näiteks kui elektroni lainefunktsioon on positsioonil x 1 / √2 ja positsioonil y 1 / √2, siis nende ruudukujunduse korral saate tõenäosused: tõenäosus, et see leitakse positsioonil x, on 1/2 ja tõenäosus, et see leitakse y-l, on samuti 1/2. Nii et teil on 50/50 võte, kui otsite seda mõlemast kohast.

Siiani on see endiselt identne klassikalise statistilise mehaanikaga. Kui soovite, võiksite ka klassikalises füüsikas esindada tõenäosustiheduse funktsiooni ruutjuure abil igal pool ja midagi ei muutuks. Erinevus on selles, et kvantmehaanikas toimib lainefunktsioon vähem nagu vaimne abstraktsioon ja pigem nagu tegelik füüsiline laine, kuna see võib avaldada häireid.

Tume ja hele interferents narmad

Klassikaliselt tõenäosuslained üksteist ei sega. Tõenäosus on alati positiivne arv, nii et kui kahel gaasi erineval osakesel on tõenäosus p-st leidmiseks asukohas x, siis on tõenäosus leida neist kumbki ainult 2p. Klassikaliselt lisab erinevate sündmuste (või erinevate mõõtmistulemuste esinemise) tõenäosus alati üksteist, see ei lahuta kunagi.

Kuid kvantmehaanikas toimib laineina hoopis lainefunktsioon ise (mitte selle ruut). Ja kuna lainefunktsioon võib igas punktis olla ükskõik milline keeruline arv (sealhulgas positiivsed või negatiivsed reaalarvud), siis mõnikord, kui ühendate erinevaid võimalusi, lisanduvad tõenäosused, kuid muul ajal lahutavad nad! Kui lahutamine toimub - näiteks kui kahe erineva sündmuse tõenäosus kaob täielikult, tehes kummagi toimumise võimatuks - seda nimetatakse kvantinterferentsiks.

Oletame, et meil on 2 elektronit ja et on ainult 2 asukohta, kus iga elektron võib leida, asukoht x või asukoht y. Kui kaks elektroni oleksid eristatavad, siis võiksime neid märgistada kui "elektron A" ja "elektron B" ja see tähendaks, et 2-elektronide süsteemis võiks olla 4 võimalikku olekut. Mõlemad A ja B on x, mõlemad on y juures, A on x juures ja B on y või B on x ja A on y. Kokkuvõtteks võib öelda, et meil on AB = xx, yy, xy või yx. Niisuguste olekute kvantmehaanikas esindamiseks on tavaline märk nurksulgude kasutamine: | xx>, | yy>, | xy> ja | yx>.

Kuid 1920-ndate aastate teaduslikud uuringud näitasid üllatavat tõsiasja: selline 2-elektronine süsteem ei saa olla neljas erinevas olekus, seal on ainult üks võimalik olek!

Osa selle põhjusest peaksite oskama arvata: kui elektronit A ei ole võimalik eristada elektronist B, on olekud | xy> ja | yx> identsed. Need on lihtsalt kaks erinevat viisi sama füüsilise oleku tähistamiseks. Mõlemal juhul on positsioonil x 1 elektron ja positsioonil y on 1 elektron.

Kuid see jätab meile ikkagi 3, mitte 1 olekut - mis on valesti sellises olekus nagu | xx> kus mõlemad elektronid on positsioonis x või | yy> kus mõlemad asuvad positsioonil y? Selgub, et rohkem kui 1 elektron ei saa kunagi sama olekut hõivata. 1925. aastal pakkus Wolfgang Pauli välja selle põhimõtte - mida nüüd tuntakse Pauli välistamisprintsiibina - ja 1940. aastal suutis ta kvantväljavälja teooria abil tõestada, et see kehtib mitte ainult elektronide, vaid kõigi teatud tüüpi osakeste (need, millel on täisarv) spin - elektronidel on spin 1/2).

Wolfgang Pauli

Mul läheks teemast liiga kaugele, kui annaksin täieliku selgituse selle kohta, mis selles postituses keerleb (kui soovite rohkem teada saada, siis julgustage teid lugema minu selgitust spin-1/2 kohta siin Quoras, millest nad just teatasid e-postiga saadeti mulle e-kiri enam kui 100 000 inimesele). Kuid tuleb välja, et kõik kvantosakesed jagunevad kahte kategooriasse: fermioonid või bosonid. Fermioonidel on poole täisarvuga spin ja nad järgivad Pauli välistamise põhimõtet, bosonitel on täisarv spinni ja ei.

Fermioonidel on tavaliselt rohkem “mateeria” omadusi. Näiteks elektronid, prootonid ja neutronid on kõik spin-1/2 fermioonid. Need on need, mis moodustavad mateeria (aatomid, molekulid jne) ehitusplokid. Võib-olla olete kuskilt või teisest kuulnud, et mateeria ei saa korraga sama ruumi hõivata. See on osaliselt tingitud Pauli tõrjutuse põhimõttest (nagu ka erinevate aatomite vahel toimuv elektrostaatiline tõrjumine).

Bossonitel on tavaliselt rohkem kiirguslaadseid omadusi. Näiteks footonid - valguse ja muu elektromagnetilise kiirguse eest vastutavad osakesed (raadiolained, mikrolained, wifi, UV, röntgenikiirgus, gammakiir jne) - on spin-1 bosonid. 2012. aastal LHC-st avastatud Higgsi boson on spin-0 boson. Ja enamik teoreetilisi füüsikuid usub, et gravitatsiooni vahendab spin-2 boson, mida nimetatakse gravitoniks, ehkki seda tuleb veel laboris tuvastada.

Pauli tõrjutuse põhimõte ei ole lihtsalt aksiomaatiline reegel, vaid järeldus, mille võib tuletada meie parimatest füüsika põhiteooriatest. Tegelikult on Pauli välistamise põhimõtte täielikuks järelduseks saamiseks vaja nii Einsteini erirelatiivsusteooriat kui ka kvantmehaanikat. Spinni tööpõhimõtte tõttu on 2 bossi lainefunktsioon alati sunnitud olema „sümmeetriline”, samal ajal kui 2 fermiooni lainefunktsioon on alati sunnitud olema „antisümmeetriline”.

Selles kontekstis tähendab sümmeetriline lihtsalt seda, et kui vahetate kahe bosoni asukohti, siis ei juhtu midagi - saate täpselt sama oleku tagasi. Antisümmeetriline tähendab midagi sarnast, kuid mitte päris: kui vahetate kahe identse fermiooni asukohti, saate tagasi sama oleku, kuid selle ees on miinusmärk.

Kvantmehaanikat tehakse vektorruumi tüübis, mida nimetatakse „Hilberti ruumiks“, kus alati, kui teil on 2 olekut, saab neist moodustada veel ühe oleku, liites need kokku „lineaarses kombinatsioonis“. Näiteks kui | xy> ja | yx> on mõlemad olekud Hilberti ruumis, siis | xy> + | yx> on ka olek samas Hilberti ruumis. Ja nii on | xy> - | yx> või mõne muu lineaarse kombinatsiooniga, näiteks 3 | xy> -2 | yx>. Sellist olekute ühendamise viisi kvantmehaanikas nimetatakse superpositsiooniks. Selle asemel, et kindlasti olla ühes kohas või kindlasti olla teises, on elektronil siiski võimalus ühel ja teisel oleval kohal olla.

Kuna aga need olekud tähistavad kvantlainefunktsiooni ja ma juba mainisin, et kvantlainefunktsiooni suuruse ruut on tõenäosusjaotus, tuleb olekuid normaliseerida viisil, et summaarne elektronide leidmise tõenäosus ükskõik kus kuni 100% (või 1). Seetõttu tuleb ülaltoodud lineaarsete kombinatsioonide koefitsiendid nende normaliseerimiseks jagada üldteguriga.

Kombineerides seda nõudega, et fermioonsed lainefunktsioonid peavad alati olema antisümmeetrilised, tähendab see, et nende kahe elektroni ainus olek (eeldusel, et nende jaoks on ainult 2 võimalikku asukohta) on 1 / √2 | xy> -1 / √2 | yx>. (Või sama asi korrutatuna mis tahes kompleksarvuga 1, mis on füüsiliselt ekvivalentne.) Kui vahetame x ja y selles, saame tulemuseks 1 / √2 | yx> -1 / √2 | xy>, mis on täpselt -1 korda algsest olekust. Matemaatiliselt on see Hilberti ruumis erinev olek, kuid füüsiliselt tähendab see sama asja. Kui ruutute 1 / √2 koefitsiendid, siis see ütleb teile, et on olemas 1/2 tõenäosus, et elektron A on x juures ja elektron B on y juures ning 1/2 tõenäosus, et elektron B on x ja elektron A on kell y 50/50

See, mis me tegime, on võtta kaks füüsiliselt eristamatut olekut - | xy> ja | yx> ja moodustada neist superpositsioon, millel on see fermioonidelt nõutav antisümmeetriline omadus. Mis saab aga osariikidest | xx> ja | yy>? Neid ei saa kunagi muuta antisümmeetrilisteks, kuna x asendamine x-ga või y y-ga ei muuda midagi. Kuna need on oma olemuselt sümmeetrilised olekud, siis fermioonide korral nad lihtsalt ei eksisteeri - need kehtivad ainult bosoonide kohta.

Nagu arvata võis, tähendab see, et bosonite jaoks on 3 võimalikku olekut, milles nad võivad eksisteerida ainult 1 asemel. 2 footoni jaoks, mis võivad asuda asukohas x või asukohas y, on 3 erinevat olekut, milles nad olla võivad, | xx> , | yy> või 1 / √2 | xy> + 1 / √2 | yx> - need kõik on täiesti sümmeetrilised, kui vahetate x ja y. (Miinusmärki pole.)

Kokkuvõtteks võib öelda, et eristatavate osakeste paaril, mis võib asuda kahes erinevas asukohas, on 4 võimalikku olekut, milles nad võivad olla. Seevastu fermioonide paaril on ainult üks võimalik olek ja bosonide paaril on 3 võimalikku olekut. See põhjustab fermioonide ja bosonide statistilist käitumist väga erinevalt ja selgitab, miks paljud 2 tüüpi osakeste omadused on nii erinevad.

Ühes varasemas postituses rääkisin lugu sellest, kuidas Max Plancki entroopia uurimine 1800. aastate lõpus viis kvantmehaanika esialgse avastamiseni. Samal ajaperioodil oli juba mõnda aega olnud suur aimdus - teadaolev mõistatus Maxwelli ja Boltzmanni termodünaamika versiooni kohta (mis hiljem sai tuntuks kui statistiline mehaanika). Tasakaaluseaduse abil ennustas klassikaline termodünaamika paljude gaaside vales soojusmahtuvust madalatel temperatuuridel.

Soojusmaht on soojushulk, mida midagi suudab absorbeerida, kuni selle temperatuuri on tõstetud kindla koguse võrra (tavaliselt 1 kraadi Celsiuse järgi). Mõned gaasid on võimelised neelama palju soojust (soojusenergiat) ilma oma temperatuuri palju tõstmata. Kui teiste jaoks põhjustab vähese kuumusega kokkupuude termomeetri hüppeliselt. Maxwelli ja Boltzmanni sõnul oli selle teooria kohaselt mõned gaasid soojusenergiat paremini absorbeerivad ja salvestavad kui teised, kuna neil on suurem arv sisemisi vabadusastmeid - need vabadusastmed toimivad tõhusalt konteineritena, milles energiat saab salvestada. Tasakaalu teoreemis (mille on välja pakkunud Maxwell ja seejärel üldisemalt tõestanud Boltzmann) öeldakse, et tasakaalus on iga gaasi (või vedela või tahke aine) kogu sisemine energia 1/2 NkT. Kus N on selles gaasis vabadusastmete arv, T on selle gaasi temperatuur ja k on lihtsalt Boltzmanni konstant. Teisisõnu on gaasis soojusenergia 1/2 kT vabadusastme kohta.

Näiteks kui meil on monatomilise vesiniku gaasi (üheaatomiline tähendab, et iga molekul on üks aatom), on igal aatomil 3 vabadusastet, kuna see võib liikuda ühes 3 suunas: üles või alla, vasakule või paremale ja taha ning edasi (3 suunda, kuna elame kolmemõõtmelises ruumis). Vesinikuaatom võib neelata soojusenergia, suurendades selle kineetilist energiat ükskõik millises neist 3 sõltumatust suunast.

Kujutise krediit: astarmathsandphysics.com

Teisest küljest, kui meil on diatomiliste vesiniku molekulide gaas (diatomiline tähendab, et iga molekul koosneb 2 keemilisest sidemest ühendatud aatomist), siis on rohkem vabadusastet (võimalikud viisid, kuidas iga gaasi molekul võib liikuda) . Lisaks vabadusele liikuda lineaarselt ükskõik millises kolmest mõõtmest, on sellel ka vabadus pöörduda mööda kumbagi kahest erinevast teljest.

Ehkki 75% universumi massist moodustab massist monatomne vesinik, moodustab suurem osa Maa vesinikust diatomiline vesinik. Selle põhjuseks on asjaolu, et vesinik on tähtede sees (näiteks päikeses) esinevate eriti kõrgete temperatuuride ja rõhkude korral monatomne ainult üheaatomiline. Maa pinna lähedal leiduvate temperatuuride vahemikus paarub vesinik loomulikult oma diatomifaasi. Kuid 1800-ndatel tundus imelik see, et sõltuvalt täpsest temperatuurist võib diatomilisel vesinikul olla erinev soojusmahtuvus.

Pildikrediit: hüperfüüsika

Toatemperatuuril on vesiniku soojusmaht molekuli lähedal umbes 5/2 k (või kui see on mooli asemel mooli kohta, kirjutatakse see 5/2 R, nagu skeemil). Maxwelli ja Boltzmanni termodünaamika käsitluse kohaselt tähendab see 5 vabadusastet (tegelikult 7, kui lisada vibratsioonide jaoks veel 2 vabadusastet). Kuid täpne väärtus toatemperatuuril on umbes 2,47 k. Ja kui gaas jahutatakse temperatuurini alla 0 Celsiuse (273 K), langeb see järk-järgult 2,47 k-st lõpuni alla, et lõpuks arvelduda temperatuuril 1,5 k. Kuid 3/2 k tähendaks, et sellel on ainult 3 vabadusastet - teisisõnu, see on monatomne gaas! Miks võiks külmem vesinik madalatel temperatuuridel montaatiliseks gaasiks saada? Ja mida tähendab väärtus omada 3–5 vabadusastet? Soojusvõimsus pidi sõltuma temperatuurist. Gaasi hapniku ja lämmastiku mõõdetud soojusmahtuvusega oli sarnaseid probleeme.

1800-ndatel aastatel oli sellele mõistatusele palju pakutud selgitusi, kuid keegi ei mõistnud täielikku vastust kuni kvantmehaanika arendamiseni. Täielik vastus on see, et kvooditakse viisid, kuidas molekulides võivad pöörlemisvabaduse astmed ergastuda. Klassikaliselt võib midagi pöörduda ükskõik millise kiirusega ükskõik kui aeglaselt - nii et ükskõik milline energiahulk, ükskõik kui väike, võiks midagi pöörlema ​​hakata. Kuid kvantmehaanikas kvantiseeritakse nurkkiirust, nii et pöörded võivad toimuda ainult teatud diskreetse sammuga. Kas molekul hakkab kiiresti pöörlema ​​või üldse mitte - vahepeal pole. Seetõttu on madalatel temperatuuridel molekulide juhuslike kokkupõrgete vahel vahetatav keskmine energiakogus nende vabadusastmete ergastamiseks lihtsalt liiga väike. Madalatel temperatuuridel on gaasiline vesinik veel ränivedelik, kuid 3 translatsiooni vabadusastet on ainsad, mis erutavad - molekulide pöörlemiseks pole lihtsalt piisavalt energiat. Kui temperatuur tõuseb üle teatud künnise, muutuvad kokkupõrgetes osalevad tüüpilised energiad pöörde ergastamiseks piisavaks. Mida kõrgem temperatuur, seda suurem on tõenäosus, et energia on piisavalt kõrge, et põhjustada pöörlemist; seetõttu tõuseb soojusmahtuvus järk-järgult tasemeni, mida oleks võinud oodata 5 vabadusastmega molekulidest koosneva asja jaoks. Kui hoiate temperatuuri veelgi kõrgemal, muutub see lõpuks piisavalt kuumaks, et ergastada vibratsioone (kujutage ette, et aatomite vaheline side on vaheldumisi vedruga venitatav ja kokkusurutav), mis selgus, et ka kvantiseeriti. Väga kuumade temperatuuride korral on diatomeersetel gaasidel 7 ligipääsetavat vabadusastet, mis oleks teie arvates tõsi, mis tahes klassikalise temperatuuri korral tõsi. Kvantmehaanika pakub sarnast selgitust hapniku ja lämmastiku soojusmahtuvuse kohta.

Einstein pakkus 1906. aastal välja, et kvantimine võiks lahendada selle näilise vastuolu Maxwelli ja Boltzmanni tasakaaluseaduse ja ränide vaheliste gaaside spetsiifiliste soojenduste katseliselt mõõdetud kõverate vahel. Ja tema hüpoteesi kinnitas 1910. aastal Nernst, kui ta mõõtis erinevate gaaside spetsiifilisi kuumusi suurema täpsusega ja leidis, et need nõustusid Einsteini teoreetiliste ennustustega. See oli üks esimesi varajase kvantmehaanika katsetusi ja see möödus!

Kuid jõudes tagasi samade osakeste juurde, on veel üks viis, kuidas gaaside kvantmehaaniline teooria erineb oluliselt vanast klassikalisest 1800. aastate gaaside teooriast.

Kui gaasi üksikud osakesed oleksid eristatavad, siis jahutades gaasi absoluutse nullini, läheksid nad kõik alusseisundisse - olenevalt sellest, kumb nende energia on väikseim. Tavaliselt arvatakse, et põhiseisund on selline, kus iga osake on täiesti puhkeolekus ja kus puudub kineetiline energia, pöörlemisenergia ega muu liikumis- või sisemine energia.

Kuid fermioonide gaasi puhul põhjustab nende eristamatus Pauli välistamise põhimõtte, mis keelab enam kui ühe identse osakese samasse olekusse minemise. Seetõttu ei saa nad kõik olla algses olekus. Sageli on osakese hõivatud energiatasemed esindatud redeldiagrammiga, kus iga energiatase on redelil asuv teine ​​samm. Tavaliselt on olemas ka "degeneratsioon", kus mitmetel olekutel on täpselt sama energia - sel juhul saab neid esindada sama sammuga redelil, kuni jälgime tõsiasja, et sellel on degeneratsioon (mitu olekut). pulk.

Fermioonide gaasi (tuntud ka kui Fermi gaas) jahutamisel absoluutse nullini juhtub see, et antud energia iga olek saab täidetud, alustades põhiseisundist ja liikudes redelil ülespoole, kuni kõik osakesed gaasi arvestatakse ja neil on pulk. Jällegi, degeneratsiooni tõttu võib mitu osakest olla samal astmel. Kuid seni, kuni degeneratsioon on osakeste koguarvuga võrreldes väike, tähendab see ikkagi, et paljud astmed täituvad. Kui olete kõik astmed osakestega täitnud, nimetatakse kõige kõrgemat energiatasemat, mis täidetakse, “Fermi energiaks”.

1910. aastal kinnitas Nernst samal aastal diatomegaaside soojusmahtuvuse kvantteooria, astronoomid avastasid uut tüüpi tähe. 1922. aastaks saaks selle nimeks “valge kääbus”, kuid juba 1910. aastal märkasid astronoomid, et see erineb tavalistest tähtedest ja sellel on päris kummalisi omadusi. Sellise tähe mõistatus oli see, et see tundus klassikalise füüsika jaoks liiga tihe, et selgitada, kuidas see suutis särada.

Sirius B (pisike täpp) on lähim valge kääbustäht

Valge kääbuse mass sarnaneb Päikese massiga ja ometi on kogu see mass pakitud pisikesse palli, mis on tavaliselt umbes sama suur kui Maa. Arvestades, et Päike on umbes 333 000 korda massiivsem kui Maa, tähendab see, et see on äärmiselt tihe aine tüüp. Sel ajal oli see palju tihedam kui kõik, mida füüsikud polnud kunagi näinud või kuulnud, ehkki tähed pidid põletama ioonide gaase (tuntud ka kui plasmid), mitte tahkeid aineid. Kui see oli mingi eriti tihe tahke aine, siis miks see üldse säraks?

Selgus, et see oli tõepoolest plasma, mitte tahke aine. Kuid see oli tõesti väga tihe. Ükski klassikaline gaaside teooria ei saa selgitada, kuidas gaas võib olla nii tihe ja mitte ainult iseenesest oma raskuse tõttu kokku kukkuda. 1926. aastal selgitas RH Fowler kvantmehaanika matemaatikat kasutades õigesti, et valged kääbused on tegelikult Fermi, mitte klassikalised gaasid.

Teisisõnu on valge kääbus identsete fermioonide gaas. Täpsemalt, see on elektronide gaas. Kõrgetel temperatuuridel ja madalatel rõhkudel käitub elektronide gaas erinevalt tavalisest klassikalisest gaasist. Pole tähtis, kas üksikud elektronid on identsed, kuna olekuid on palju rohkem kui elektrone. Neil on liikumiseks palju ruumi ja palju erinevaid liikumisvõimalusi, kuna temperatuur on piisavalt kõrge. Jahutage aga sama gaas piisavalt maha või suurendage rõhku nii, et see pakendatakse piisavalt väikeseks ruumalaks, ja siis hakkavad elektronid samadesse olekutesse pigistama. Välja arvatud see, et nad ei saa Pauli tõrjutuse põhimõtte tõttu täpselt samasse olekusse minna. Nii et nad lihtsalt täidavad olekuid umbes Fermi energiani ja peatuvad.

Kui need oleksid eristatavad osakesed, siis peaksid nad kõik minema samasse olekusse ja energia oleks sisuliselt null - põhiseisundis liikumist ei toimu. Kuid kuna tegemist on fermioonidega, on olemas nn degeneratsioonisurve, mis hoiab neid samasse olekusse minemast ja hoiab ära kogu asja raskusjõu tõttu kokkuvarisemise. Statistika, kuidas fermioonid selles olukorras käituvad, on tuntud kui “Fermi-Dirac statistika”, mis muutub kõrgete temperatuuride ja madala rõhu piirides klassikalise “Maxwell-Boltzmanni statistikaga” sarnaseks. Selles kontekstis osutab statistika sellele, kui tõenäoline on, et igal osakesel on temperatuurist sõltuvalt teatav energia tasakaalus. Või teine ​​viis seda öelda: kui suur on osakeste eeldatav arv, mis leitakse süsteemi igal energiatasandil pärast tasakaalu saavutamist?

Maxwell-Boltzmanni statistika saab tuletada, lugedes kombinatoorikat kasutades mitu erinevat ainulaadset olekut, mida osakesed võivad hõivata, ja seejärel välja selgitades, kus see olekute jaotus ulatub maksimumini (tähistab ka maksimaalset entroopiat ehk aka tasakaalu). Madalamate energiate korral on degeneratsioon üldiselt madalam, nii et olekuid pole nii palju. Kuid kui üksikute osakeste energia on liiga kõrge, vähendab see teiste osakeste vahel jaotatava energia hulka, mille tulemuseks on vähem võimalikke kombinatsioone. Seega on olemas tasakaal, tasakaalutingimus, kus kogu süsteem on maksimaalses entroopias, kui antud energia olekud on täidetud eeldatava osakeste arvuga N_i = K_i / e ^ (E_i-µ) / (kT)). K_i on degeneratsioon; see näitab, kui palju olekuid on antud energiatasemel E_i. Tegurit e ^ (- E_i / kT) (kus k on Boltzmanni konstant ja T temperatuur) nimetatakse Boltzmanni teguriks. Boltzmanni tegur tähendab, et liikudes energiataseme redelil ülespoole, jääb iga astme hõivatud osakeste arv hüppeliselt väiksemaks (ehkki nende jaoks on degeneratsiooni tõttu üha rohkem ruumi). Kuid temperatuur kontrollib, kui kiiresti see eksponent langeb. Kreeka sümbolit µ in e ^ (E_i-µ) / (kT) nimetatakse “keemiliseks potentsiaaliks” ja see pole praegu oluline, kuid see tähistab, kui palju süsteemi koguenergia suureneks, kui sellele lisataks mõni muu osake . (Paljude süsteemide korral on µ 0 või ligikaudu 0, nii et seda pole sageli isegi lisatud).

Kuni gaasi on piisavalt vähe, ei pea me muretsema kahe erineva osakese pärast, mis asuvad samas olekus (eeldatavad N_i on kõigis olekus alla 1), siis toimib sama derivatsioon fermioonide või bosonide jaoks hästi - see ei loe, mõlemad viivad sama Maxwell-Boltzmanni statistika juurde. Kui aga arvestada juhtumiga, kus gaas on väga tihe või piisavalt madalal temperatuuril, siis on ühtäkki palju tähtsust, kas osakesed on fermioonid või bosonid (või ei kumbki, mida looduses tegelikult ei juhtu, kuid võiks ette kujutada) . Fermioonide puhul eeldab iga energiataseme hõivatav osakeste arv, kui olekud on loendatud ja nende maksimum on leitud N_i = 1 / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) + 1) - seda nimetatakse Fermi-Dirac statistika. Suure tihedusega tingimustes valgetes kääbustähtedes või madalates temperatuuritingimustes teistes Fermi gaasides muutub oluliseks keemiline potentsiaal µ ja see on umbes sama, mida Fermi energiaga varem arutati (ja nulltemperatuuri korral on see täpselt sama). Pange tähele, et ainus erinevus Maxwell-Boltzmanni statistika ja Fermi-Diraci statistika vahel on Fermi-Diraci valemis “+1”. Selline väike erinevus ja ometi avaldab see asja käitumisele nii suurt mõju!

Aga bosonid? Nad ei järgi Pauli tõrjutuse põhimõtet, nii et kas bosoonide gaas ei erineks tavalisest klassikalisest gaasist? Noh, bosoonidel on oma jälgitav statistikakomplekt, mida tuntakse kui Bose-Einsteini statistikat, mis erineb nii Maxwell-Boltzmanni kui ka Fermi-Diraci statistikast.

Ehkki nad ei järgi Pauli välistamise põhimõtet, erinevad identsed bosonid siiski eristatavatest osakestest, kuna kombinatoorika on siiski erinev. Kas mäletate tagasi, kui arutasime Hilberti ruumis asuvaid kvantseisundeid? Paari identse bosoni kohta, millel kõigil on ainult 2 saadaolevat olekut, nägime, et paaril on ainult 3 võimalikku olekut, milles nad võivad olla, selle 4 asemel, mida võiksite oodata, kui nad oleksid eristatavad. Selle üldistus on selline, et K-olekuga N identse bosoni komplekti korral on “N vali K-1” = (N + K-1)! / N! / (K-1)! erinevad unikaalsed olekud, milles nad võiksid olla, eristatavate osakeste K ^ N asemel. (Muidugi on! -Märgid nagu 1. osas matemaatilised faktorisümbolid.) Saate hõlpsasti kontrollida, kas see töötab minu algses näites, kus N = K = 2: (2 + 2–1)! / 2! / (2 –1)! = 3! / 2! / 1! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) / 1 = 6/2 = 3.

Lubades igal energiatasandil erinevat arvu degenereerunud olekuid K_i, tuleb valemit laiendada paljude tegurite korrutisele, iga vorm (N_i + K_i + 1)! / N_i! / (K_i-1)! (sama, mis ülalpool, lihtsalt koos nende alltellimustega, et eristada erinevaid energiatasandeid E_i). Pärast selle avaldise maksimumi leidmiseks kalkuleerimist saab tulemuseks oleva tasakaaluseisundi tuvastada sellisena, kus igas energiatasandis on N_i = K_i / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) - 1) osakesi E_i. See on Bose-Einsteini statistika valem. Pange tähele, ainus erinevus selle ja Fermi-Diraci valemi vahel on see, et +1 on nüüd -1! See teeb nende kõigi 3 meeldejäämise hõlpsamaks. Ehkki tavaliselt bosoonide jaoks, on µ 0, kuna neid saab hõlpsasti luua või hävitada - näiteks ei säilitata meie universumis footoniarvu, nii et need võivad vajaduse korral ilmuda ja kaduda ilma kuludeta.

Einstein-Bose'i statistika valemi avastas üks India füüsik nimega Satyendra Nath Bose, aasta või kaks enne Fermi-Diraci statistika avastamist ja valgete kääbuste rakendamist. Lugu, kuidas ta selle peale jõudis, on põnev. Ta pidas 1924. aastal Briti Indias (nn Bangladeshi nime all) loengu ultraviolettkatastroofist. Ultraviolettkiirguse katastroof oli 20. sajandi alguses nimetatud probleem, mille kohta keegi ei teadnud, kuidas statistilisest mehaanikast täielikult tuletada Plancki musta keha kiirguse valemit, mida ma pikemalt käsitlen selles osas, mis on siiani minu kõige populaarsem tükk meediumil (lugu sellest, kuidas Planck kompenseeris kvantmehaanikat entroopiat uurides).

Planck väitis õigesti, et võti oli eeldada, et energia on mingil määral kvantiseeritud, kuid tal polnud õnnestunud leida täiesti puhast derivaati kogu esimestest põhimõtetest, ilma et oleks lisatud mõned ajutised eeldused sisemiste vibratsioonirežiimide kohta. ahjud. Bose nägi publikule ette, miks te alustate olekute ja energiatasemete põhikombinaatikast vale valemiga. Välja arvatud see, et lõpus juhtus imelik ime - ta üllatas ennast ja kõiki, sattudes kuidagi kogemata õige valemi juurde. Ta vaatas tagasi tehtule ja mõistis, et on teinud vea - osariikide loendamisel oli ta neid arvestanud “valel” viisil. Ta oli juhuslikult kohelnud footoneid nii, nagu need oleksid kõik identsed ja üksteisega asendatavad, mitte eristatavad, nagu varem võidi arvata. Mõelnud sellele rohkem, mõistis ta, et võib-olla on ta millegi kallal - võib-olla polnud see tegelikult viga. Ta ei teadnud, kes veel sellest räägib, seetõttu otsustas ta kirjutada kirja Albert Einsteinile. Einstein oli kohe väga elevil ja aitas tal selle kohta paberi avaldada.

Satyendra Nath Bose

Seega oli Plancki valemi reprodutseerimise esimene võti - valgus kvanteeritakse üksikuteks energiapakettideks, mida nüüd nimetatakse footoniteks. Kuid teine ​​suur võti oli see, et neil footonitel puudub individuaalne identiteet. Peale selle, et mõnedel on teistest erinev energia ja impulss, on nad kõik identsed. Tagantjärele mõeldes tegi see palju Boltzmanni ja Gibbsi varasem statistikamehaanika töö oli mõistlikum. Seal oli olnud tegur N! visatakse võrranditesse, et Maxwell-Boltzmanni jaotus töötaks õigesti ja et entroopia oleks mahu järgi korralikult skaleeritud. Gibbs oli teadlik, et sellel oli midagi pistmist osakeste käsitamisega justkui üksteisega asendatavatena, kuid keegi ei pööranud sellele suurt tähelepanu ega võtnud seda tegelikult südamele. Enne Bose eeldasid üldiselt kõik ikkagi, et osakesed on vähemalt põhimõtteliselt mingil tasemel üksteisest eristatavad.

Bose'i veatu viga Bangladeshis võimaldas kogu füüsikailmal küünte kirstu panna eesmärgiga, et kvantosakestel on kõigil oma identiteet. Kui nad oleksid, siis oleks olnud veel olekuid ja meie kätel oleks ikkagi ultraviolettkiirguse katastroof - eristatavate footonite termodünaamika poleks kunagi suutnud reprodutseerida musta keha radiatsiooni, mida on mustrikeha ahjudes täheldatud alates 1800. aastate lõpust. Samuti ei suudaks me selgitada, miks päike või muud valgusallikad ei kiirga lõpmatus koguses energiat.

Ja see - mu sõbrad - on lugu sellest, kuidas me saime teada, et kõik elektronid on identsed!

Kui leiate selle informatiivse teabe, klõpsake plaksutamisnupul, tänud :-)